Question

已知點A₁，A₂是雙曲線

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）的上、下頂點，F(xiàn)是上焦點，B（-b，0），若在線段BF上（不含端點）存在不同的兩點P，Q，使得△PA₁A₂，△QA₁A₂都是以A₁A₂為斜邊的直角三角形，則雙曲線離心率的取值范圍為（　�。�

• A、（1，

  5 +1

  2

  ）
• B、（1，

  2

  ）
• C、（

  5 +1

  2

  ，+∞）
• D、（

  2

  ，

  5 +1

  2

  ）

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：求出直線BF的方程為bx+cy-bc=0，利用直線與圓的位置關(guān)系，結(jié)合a＜b，即可求出雙曲線離心率e的取值范圍．

解答： 解：由題意，F(xiàn)（0，c），B（-b，0），則直線BF的方程為cx-by+bc=0，
∵在線段BF上（不含端點）存在不同的兩點P，Q，使得△PA₁A₂，△QA₁A₂都是以A₁A₂為斜邊的直角三角形，
∴

bc

b2+c2

＜a，
∴e⁴-3e²+1＜0，
∵e＞1，
∴e＜

5 +1

2

又∵a＜b，
∴a²＜c²-a²，
∴e＞

2

，
∴

2

＜e＜

5 +1

2

．
故選：D．

點評：本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，考查離心率，考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．