Question

已知函數(shù)f(x)=

x+1-a

a-x

(a∈R)，
（1）證明函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，-1）成中心對(duì)稱圖形；
（2）當(dāng)x∈[a+1，a+2]時(shí)，求證：f（x）∈[-2，-

3

2

]；
（3）我們利用函數(shù)y=f（x）構(gòu)造一個(gè)數(shù)列{x_n}，方法如下：對(duì)于給定的定義域中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1），…在上述構(gòu)造數(shù)列的過程中，如果xi（i=2，3，4，…）在定義域中，構(gòu)造數(shù)列的過程將繼續(xù)下去；如果x_i不在定義域中，則構(gòu)造數(shù)列的過程停止．
（i）如果可以用上述方法構(gòu)造出一個(gè)常數(shù)列{x_n}，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（ii）如果取定義域中任一值作為x₁，都可以用上述方法構(gòu)造出一個(gè)無窮數(shù)列{x_n}，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出P為函數(shù)上任意一點(diǎn)，然后將P的坐標(biāo)代入已知函數(shù)，寫出P關(guān)于（a，-1）的對(duì)稱點(diǎn)P'（2a-x₀，-2-y₀）．然后代入f（x）進(jìn)行驗(yàn)證關(guān)于（a，-1）成中心對(duì)稱圖形．
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，把f（x）代入題目，然后驗(yàn)證[f(x)+2][f(x)+

3

2

]≤0即可證明
（3）（i）根據(jù)題意，把f（x）=x有解轉(zhuǎn)化為△＞0或△=0兩種情況，并進(jìn)行分析．
    （ii）當(dāng)x≠a時(shí)，（1+a）x=a²+a-1無解，此時(shí)即可求出a的值．

解答：解：（1）設(shè)P（x_o，y_o）是函數(shù)y=f（x）圖象上一點(diǎn)，則y_o=

xo+1-a

a-xo

，
點(diǎn)P關(guān)于（a，-1）的對(duì)稱點(diǎn)P'（2a-x₀，-2-y₀）．
∵f(2a-xo)=

2a-x0+1-a

a-2a+x0

=

a-x0+1

x0-a

，-2-yo=

a-x0+1

x0-a

∴-2-y₀=f（2a-x₀）．即P′點(diǎn)在函數(shù)y=f（x）的圖象上．
所以，函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，-1）成中心對(duì)稱圖形.(2)∵[f(x)+2][f(x)+

3

2

]=

a-x+1

a-x

•

a+2-x

2(a-x)

=

(x-a-1)(x-a-2)

2(a-x)2

．
又x∈[a+1，a+2]，∴（x-a-1）（x-a-2）≤0.2（a-x）²＞0，
∴[f(x)+2][f(x)+

3

2

]≤0，∴-2≤f(x)≤-

3

2

．

（3）（i）根據(jù)題意，只需x≠a時(shí)，f（x）=x有解.即

x+1-a

a-x

=x有解，
即x²+（1-a）x+1-a=0有不等于a的解
．∴①△＞0或②△=0并且x≠a，
①由△＞0得a＜-3或a＞1，②由△=0得a=-3或a=1，
此時(shí)，x分別為-2或0．符合題意．綜上，a≤-3或a≥1．
（ii）根據(jù)題意，知：x≠a時(shí)，

x+1-a

a-x

=a無解，
即x≠a時(shí)，（1+a）x=a2+a-1無解，由于x=a不是方程（1+a）x=a2+a-1的解，
所以，對(duì)于任意x∈R．（1+a）x=a²+a-1無解．∴a=-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，通過對(duì)實(shí)際問題的分析，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型從而解決問題．本題需要把點(diǎn)P關(guān)于（a，-1）的對(duì)稱點(diǎn)P'（2a-x₀，-2-y₀）代入函數(shù)．進(jìn)行化簡．并注明取值范圍．需要對(duì)知識(shí)熟練的掌握并應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．