Question

（2012•湛江二模）某市為了解今年高中畢業(yè)生的身體素質(zhì)狀況，從本市某校高中畢業(yè)班中抽取一個(gè)班進(jìn)行實(shí)心球測(cè)試，成績(jī)?cè)?米及以上的為合格．把所得數(shù)據(jù)進(jìn)行整理后，分成6組畫(huà)出頻率分布直方圖的一部分（如圖），已知第一小組為[5，6），從左到右前5個(gè)小組的頻率分別為0.06，0.10，0.14，0.28，0.30．第6小組的頻數(shù)是6．
（1）求這次實(shí)心球測(cè)試成績(jī)合格的人數(shù)；
（2）用此次測(cè)試結(jié)果估計(jì)全市畢業(yè)生的情況．若從今年的高中畢業(yè)生中隨機(jī)抽取兩名，記X表示兩人中成績(jī)不合格的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（3）經(jīng)過(guò)多次測(cè)試后，甲成績(jī)?cè)?～10米之間，乙成績(jī)?cè)?.5～10.5米之間，現(xiàn)甲、乙各投一次，求甲投得比乙遠(yuǎn)的概率．

Answer 1

分析：（1）第6小組的頻率為：1-（0.06+0.10+0.14+0.28+0.30）=0.12，此次測(cè)試總?cè)藬?shù)為

6

0.12

=50人，由此能求出這次實(shí)心球測(cè)試成績(jī)合格的人數(shù)．
（2）X=0，1，2，此次測(cè)試中成績(jī)不合格的概率為

15

50

=

3

10

，由X～B（2，

3

10

），能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
（3）設(shè)甲、乙各投擲一次的成績(jī)?yōu)閤，y米，由基本事件滿足的區(qū)域?yàn)?span id="i62zt8c" class="MathJye">

8≤x≤10 9.5≤y≤10.5

，“甲投得比乙遠(yuǎn)的概率”滿足的區(qū)域?yàn)閤＞y，由幾何概型能求出結(jié)果．

解答：解：（1）第6小組的頻率為：1-（0.06+0.10+0.14+0.28+0.30）=0.12，
此次測(cè)試總?cè)藬?shù)為

6

0.12

=50人，
∴第4，5，6組成績(jī)均合格，人數(shù)為（0.28+0.30+0.12）×50=35（人）．
（2）X=0，1，2，此次測(cè)試中成績(jī)不合格的概率為

15

50

=

3

10

，
∴X～B（2，

3

10

），
P（X=0）=(

7

10

)2，
P（X=1）=

C

1 2

(

7

10

)(

3

10

 )=

21

50

，
P（X=2）=(

3

10

)2=

9

100

，
∴X的分布列為

X	0	1	2
P	49 100	21 50	9 100

∴EX=2×

3

10

=

3

5

．
（3）設(shè)甲、乙各投擲一次的成績(jī)?yōu)閤，y米，
由基本事件滿足的區(qū)域?yàn)?span id="ktv9mox" class="MathJye">

8≤x≤10 9.5≤y≤10.5

，
“甲投得比乙遠(yuǎn)的概率”滿足的區(qū)域?yàn)閤＞y，（如圖）
∴由幾何概型知P(A)=

1 2 × 1 2 × 1 2

1×2

=

1

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是歷年高考的必考題型．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．