Question

12．對(duì)a、b∈R，記$max\left\{{a\;，\;\;b}\right\}=\left\{\begin{array}{l}a\;，\;\;a≥b\\ b\;，\;\;a＜b\end{array}\right.$，函數(shù)f（x）=max{|x|，-x²-2x+2}，x∈（-4，3）
（1）求f（0），f（-3）；
（2）寫出解析式，并作出f（x）的圖象；
（3）就k的值討論關(guān)于x的議程f（x）=k解的個(gè)數(shù)情況．

Answer 1

分析 （1）分別求出f（0），f（-3）比較即可，
（2）寫出函數(shù)的解析式，并畫出圖象，
（2）結(jié)合圖象分類討論即可．

解答 解：（1）∵f（0）=|0|=0，或f（0）=-0-0+2=2，
∴f（0）=2，
∵f（-3）=|-3|=3，或f（-3）=-9+6+2=-1，
∴f（-3）=3，
（2）由題意可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|x|，-4＜x≤-2，或\frac{-3+\sqrt{17}}{2}≤x＜3}\\{-{x}^{2}-2x+2，-2＜x＜\frac{-3+\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$，其圖象如圖所示，

由圖象可知，
當(dāng)k≥4或k＜$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$時(shí)，
方程f（x）=k無解，
當(dāng)3＜k＜4，或k=$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$時(shí)，
方程f（x）=k有唯一解，
當(dāng)2＜k＜3時(shí)，方程f（x）=k有四個(gè)解，
當(dāng)k=2時(shí)，方程f（x）=k有三個(gè)解，
當(dāng)$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$＜k＜2時(shí)，方程f（x）=k有兩個(gè)解．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了新定義的應(yīng)用，以及分段函數(shù)的問題，關(guān)鍵是畫圖，屬于中檔題．