Question

16．2015年世界游泳錦標(biāo)賽7月24號(hào)在俄羅斯喀山舉行，比賽期間，來(lái)自俄羅斯喀山國(guó)立大學(xué)的男女大學(xué)生共9名志愿者被隨機(jī)地平均分配到跳水、游泳、水球這三個(gè)場(chǎng)地服務(wù)，且跳水場(chǎng)地至少有一名女大學(xué)生志愿者的概率是$\frac{16}{21}$．
（1）求游泳場(chǎng)地至少有男、女大學(xué)生志愿者各一人的概率；
（2）設(shè)隨機(jī)變量X為在水球場(chǎng)地的男大學(xué)生志愿者的人數(shù)，求X的分布列及期望．

Answer 1

分析 （1）記“至少一名女大學(xué)生志愿者被分到跳水場(chǎng)地”為事件A，則事件A的對(duì)立事件是“沒(méi)有女大學(xué)生志愿者被分到跳水場(chǎng)地”，由此求出女大學(xué)生志愿者有職有3人，男大學(xué)生志愿者有6人，從而能求出游泳場(chǎng)地至少有男、女大學(xué)生志愿者各一人的概率．
（2）隨機(jī)變量X為在水球場(chǎng)地的男大學(xué)生志愿者的人數(shù)，由題意知X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列及期望．

解答 解：（1）記“至少一名女大學(xué)生志愿者被分到跳水場(chǎng)地”為事件A，
則事件A的對(duì)立事件是“沒(méi)有女大學(xué)生志愿者被分到跳水場(chǎng)地”，
設(shè)有女大學(xué)生為x人，則1≤x≤9，
∵跳水場(chǎng)地至少有一名女大學(xué)生志愿者的概率是$\frac{16}{21}$，
∴P（A）=1-$\frac{{C}_{9-x}^{3}{C}_{6}^{3}}{{C}_{9}^{3}{C}_{6}^{3}}$=$\frac{16}{21}$，即（9-x）（8-x）（7-x）=120，解得x=3，
∴女大學(xué)生志愿者有職有3人，男大學(xué)生志愿者有6人，
記“游泳場(chǎng)地至少有男、女大學(xué)生志愿者各一人”為事件B，
則P（B）=$\frac{（{C}_{3}^{1}{C}_{4}^{2}+{C}_{3}^{2}{C}_{6}^{1}）{C}_{6}^{3}}{{C}_{9}^{3}{C}_{6}^{3}}$=$\frac{3}{4}$，
∴游泳場(chǎng)地至少有男、女大學(xué)生志愿者各一人的概率為$\frac{3}{4}$．
（2）隨機(jī)變量X為在水球場(chǎng)地的男大學(xué)生志愿者的人數(shù)，由題意知X的可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{3}{C}_{6}^{3}}{{C}_{9}^{3}{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{84}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{3}^{2}{C}_{6}^{3}}{{C}_{9}^{3}{C}_{6}^{3}}$=$\frac{18}{84}=\frac{3}{14}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{6}^{2}{C}_{3}^{1}{C}_{6}^{3}}{{C}_{9}^{3}{C}_{6}^{3}}$=$\frac{45}{84}$=$\frac{15}{28}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{6}^{3}{C}_{6}^{3}}{{C}_{9}^{3}{C}_{6}^{3}}$=$\frac{20}{84}=\frac{5}{21}$
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{84}$	$\frac{3}{14}$	$\frac{15}{28}$	$\frac{5}{21}$

E（X）=$0×\frac{1}{84}+1×\frac{3}{14}+2×\frac{15}{28}+3×\frac{5}{21}$=$\frac{25}{14}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．