Question

1．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)等于2的正方形，其他四個(gè)側(cè)面都是邊長(zhǎng)等于$\sqrt{5}$的等腰三角形，點(diǎn)E是PC中點(diǎn)．
（1）求證：PA∥平面EBD；
（2）求證：平面PAC⊥平面PBD；
（3）若該四棱錐P-ABCD是一個(gè)銅制的幾何體，將它熔鑄成一個(gè)實(shí)心球體，假設(shè)熔鑄過(guò)程沒(méi)有材料損失，求這個(gè)球體的表面積．

Answer 1

分析 （1）利用線面平行的判定定理證明PA∥平面EBD；
（2）證明AC⊥平面PBD，即可證明平面PAC⊥平面PBD；
（3）求出四棱錐P-ABCD，利用等體積求出球的半徑，即可求這個(gè)球體的表面積．

解答 （1）證明：設(shè)AC∩BD=O，連接PO，則O是AC的中點(diǎn)，
∵點(diǎn)E是PC中點(diǎn)，
∴OE∥PA，
∵PA?平面EBD，OE?平面EBD，
∴PA∥平面EBD；
（2）證明：∵PA=PC，O是AC的中點(diǎn)，
∴PO⊥AC，
∵底面ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵PO∩BD=O，
∴AC⊥平面PBD，
∵AC?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PBD；
（3）解：∵底面ABCD是邊長(zhǎng)等于2的正方形，其他四個(gè)側(cè)面都是邊長(zhǎng)等于$\sqrt{5}$的等腰三角形，
∴PO=$\sqrt{3}$，
∴V_P-ABCD=$\frac{1}{3}×2×2×\sqrt{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
設(shè)球的半徑為R，則$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴R=$\frac{\root{6}{3}}{\root{3}{π}}$，
∴S=4πR²=4$\root{6}{9{π}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的判定，考查平面與平面垂直的判定，考查體積的計(jì)算，掌握線面平行的判定、平面與平面垂直的判定是關(guān)鍵．