Question

14．用分析法、綜合法證明：若a＞0，b＞0，a≠b，則$\frac{a+b}{2}$＞$\sqrt{ab}$．

Answer 1

分析 利用分析法的證明方法，逐步找出是不等式成立的充分條件即可．利用綜合法通過配方法直接推出結(jié)果即可．

解答 解：（1）分析法
為了證明$\frac{a+b}{2}$＞$\sqrt{ab}$成立，需證明a+b＞2$\sqrt{ab}$ 成立：由于a＞0，b＞0，即要證（a+b）²＞4ab成立．展開這個不等式左邊，即得a²+2ab+b²＞4ab
即證a²-2ab+b²＞0成立．即證（a-b）²＞0成立，以上證明過程步步可逆，
∵a≠b，∴（a-b）²＞0成立．故$\frac{a+b}{2}$＞$\sqrt{ab}$成立．                （5分）
（2）綜合法
$\frac{a+b}{2}$-$\sqrt{ab}$=$\frac{1}{2}{（\sqrt{a}-\sqrt）}^2$＞0．（10分）

點評 本題考查分析法與綜合法證明不等式的方法，考查邏輯推理能力以及計算能力．