Question

9．函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{x-1}}{x}$的值域是$[0，\frac{1}{2}]$．

Answer 1

分析 由$\left\{\begin{array}{l}{x-1≥0}\\{x≠0}\end{array}\right.$，令$\sqrt{x-1}$=t≥0，可得x=t²+1，可得f（x）=$\frac{t}{{t}^{2}+1}$=g（t），通過對(duì)t分類討論，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{x-1≥0}\\{x≠0}\end{array}\right.$，解得x≥1，
令$\sqrt{x-1}$=t≥0，可得x=t²+1，
∴f（x）=$\frac{t}{{t}^{2}+1}$=g（t），
當(dāng)t=0時(shí)，g（0）=0；
當(dāng)t＞0時(shí)，0＜g（t）=$\frac{1}{t+\frac{1}{t}}$$≤\frac{1}{2\sqrt{t•\frac{1}{t}}}$=$\frac{1}{2}$．
∴函數(shù)f（x）的值域是$[0，\frac{1}{2}]$
故答案為：$[0，\frac{1}{2}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)定義域與值域的求法、“換元法”、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．