Question

7．已知P為等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足$\overrightarrow{PA}$+λ$\overrightarrow{PB}$+（1+λ）$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，若三角形PAC與三角形PAB的面積之比為$\frac{1}{3}$，則實(shí)數(shù)λ的值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)條件可得出$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}=-λ（\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}）$，不妨設(shè)AC中點(diǎn)為D，BC中點(diǎn)為E，從而得出$\overrightarrow{PD}=-λ\overrightarrow{PE}$，從而得到D，P，E三點(diǎn)共線，進(jìn)而得出，$\frac{|\overrightarrow{PD}|}{|\overrightarrow{AB}|}=\frac{λ}{2（λ+1）}$，$\frac{|\overrightarrow{PE}|}{|\overrightarrow{AB}|}=\frac{1}{2（λ+1）}$．從而得出${S}_{△PAC}=\frac{λ}{2（λ+1）}{S}_{△ABC}$，${S}_{△PBC}=\frac{1}{2（λ+1）}{S}_{△ABC}$，這樣便可根據(jù)三角形PAC與三角形PAB的面積之比$\frac{1}{3}$建立關(guān)于λ的方程，解出λ即可．

解答 解：$\overrightarrow{PA}+λ\overrightarrow{PB}+（1+λ）\overrightarrow{PC}$=$（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}）+λ（\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}）=\overrightarrow{0}$；
∴$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}=-λ（\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}）$；
如圖，設(shè)AC中點(diǎn)為D，BC中點(diǎn)為E，則$2\overrightarrow{PD}=-λ•2\overrightarrow{PE}$，即$\overrightarrow{PD}=-λ\overrightarrow{PE}$；

∴P，D，E三點(diǎn)共線，且DE∥AB，DE=$\frac{1}{2}AB$；
據(jù)題意，-λ＜0，∴λ＞0；
∴$\frac{|\overrightarrow{PD}|}{|\overrightarrow{PE}|}=λ$，$\frac{|\overrightarrow{PE}|}{|\overrightarrow{PD}|}=\frac{1}{λ}$；
∴$\frac{|\overrightarrow{PD}|}{|\overrightarrow{DE}|}=\frac{λ}{λ+1}$，$\frac{|\overrightarrow{PE}|}{|\overrightarrow{DE}|}=\frac{1}{λ+1}$，$\frac{|\overrightarrow{PD}|}{|\overrightarrow{AB}|}=\frac{λ}{2（λ+1）}$，$\frac{|\overrightarrow{PE}|}{|\overrightarrow{AB}|}=\frac{1}{2（λ+1）}$；
∴${S}_{△PAC}=\frac{λ}{2（λ+1）}{S}_{△ABC}$，${S}_{△PBC}=\frac{1}{2（λ+1）}{S}_{△ABC}$；
∴${S}_{△PAB}=\frac{λ+1}{2（λ+1）}{S}_{△ABC}=\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$；
∴$\frac{{S}_{△PAC}}{{S}_{△PAB}}=\frac{\frac{λ}{2（λ+1）}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}$；
解得$λ=\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 考查的數(shù)乘運(yùn)算，向量加法的平行四邊形法則，共線向量基本定理，三角形中位線的性質(zhì)，向量數(shù)乘的幾何意義，以及三角形的面積公式．