Question

2．過（0，$\sqrt{2}$）斜率為k的直線l與橢圓$\frac{x^2}{2}$+y²=1交于不同兩點(diǎn)P、Q．
（1）求k取值范圍；
（2）是否存在k使得向量$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=1？若存在，求出k的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可得直線l的方程為：y=kx+$\sqrt{2}$．與題意方程聯(lián)立可得：（1+2k²）x²+4$\sqrt{2}$kx+2=0，由題意可得：△＞0，解出即可得出．
（2）假設(shè)存在k使得向量$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=1，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．由（1）可得：y₁y₂=$（k{x}_{1}+\sqrt{2}）（k{x}_{2}+\sqrt{2}）$=k²x₁x₂+$\sqrt{2}$k（x₁+x₂）+2，由量$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=1，可得1=x₁•x₂+y₁y₂，把根與系數(shù)的關(guān)系代入即可得出．

解答 解：（1）由題意可得直線l的方程為：y=kx+$\sqrt{2}$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\sqrt{2}}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，化為：（1+2k²）x²+4$\sqrt{2}$kx+2=0，
由題意可得：△=32k²-8（1+2k²）＞0，化為k²$＞\frac{1}{2}$，解得：$k＞\frac{\sqrt{2}}{2}$，或k$＜-\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴k取值范圍是$（-∞，-\frac{\sqrt{2}}{2}）$∪$（\frac{\sqrt{2}}{2}，+∞）$．
（2）假設(shè)存在k使得向量$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=1，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
由（1）可得：x₁+x₂=$\frac{-4\sqrt{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{2}{1+2{k}^{2}}$，
y₁y₂=$（k{x}_{1}+\sqrt{2}）（k{x}_{2}+\sqrt{2}）$=k²x₁x₂+$\sqrt{2}$k（x₁+x₂）+2，
由量$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=1，∴1=x₁•x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+$\sqrt{2}$k（x₁+x₂）+2=（1+k²）×$\frac{2}{1+2{k}^{2}}$+$\sqrt{2}$k×$\frac{-4\sqrt{2}}{1+2{k}^{2}}$+2，
化為：4k²-8k+3=0，解得k=$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$．
∴存在k=$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$，使得向量$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．