如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2，∠PDA=45°，點E、F分別為棱AB、PD的中點．
（Ⅰ）求證：AF∥平面PCE；
（Ⅱ）求三棱錐C-BEP的體積．

【答案】分析：（Ⅰ）欲證AF∥平面PCE，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證AF與平面PCE內(nèi)一直線平行，取PC的中點G，連接FG、EG，AF∥EG又EG?平面PCE，AF?平面PCE，滿足定理條件；
（Ⅱ）三棱錐C-BEP的體積可轉化成三棱錐P-BCE的體積，而PA⊥底面ABCD，從而PA即為三棱錐P-BCE的高，根據(jù)三棱錐的體積公式進行求解即可．
解答：解：證明：（Ⅰ）取PC的中點G，
連接FG、EG
∴FG為△CDP的中位線
∴FG CD
∵四邊形ABCD為矩形，
E為AB的中點
∴AE CD
∴FG AE
∴四邊形AEGF是平行四邊形（2分）
∴AF∥EG又EG?平面PCE，AF?平面PCE
∴AF∥平面PCE（4分）
（Ⅱ）∵三棱錐C-BEP即為三棱錐P-BCE
∵PA⊥底面ABCD，即PA是三棱錐P-BCE的高
在Rt△BCE中，BE=1，BC=2，（10分）
∴三棱錐C-BEP的體積
VC-BEP=VP-BCE==（12分）
點評：本題主要考查了直線與平面平行的判定，以及平面與平面垂直的判定和三棱錐的體積，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求
AE
AP
的值，若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點F是PB中點．
（Ⅰ）若E為BC中點，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，設PC與AD的夾角為θ．
（1）求點A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大��；當平面ABCD內(nèi)有一個動點Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，求動點Q的軌跡方程．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案