Question

已知點(diǎn)（0，1），（3+2

2

，0），（3-2

2

，0）在同圓C上．   
（1）求圓C方程             
（2）若圓C與直線x-y+a=0交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：直線與圓

分析：（1）設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，把三個點(diǎn)代入，聯(lián)立方程組求得．
（2）設(shè)出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與圓的方程，消去y，確定關(guān)于x的一元二次方程，已知的垂直關(guān)系，確定x₁x₂+y₁y₂=0，利用韋達(dá)定理求得a．

解答： 解：（1）∵圓過（3+2

2

，0），（3-2

2

，0）點(diǎn)，故圓心的橫坐標(biāo)為3，
設(shè)圓的方程為（x-3）²+（y-n）²=r²，
把點(diǎn)（3+2

2

，0）代入圓的方程得8+n²=r²，①
把點(diǎn)（0，1）代入圓的方程得9+（1-n）²=r²，②
①②聯(lián)立求得n=1，r²=9，
故圓C的方程為（x-3）²+（y-1）²=9．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若OA⊥OB，則x₁x₂+y₁y₂=0，
    聯(lián)立直線與圓的方程

（x-3）2+（y-1）2=9 x-y+a=0

，
    2x2+2（a-4）x+（a-1）2=0，
    x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂+a（x₁+x₂）+a²=0，
    代入兩根之和與兩根之積，解得a=-1．

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．考查了學(xué)生分析和圖象觀察能力．注意把圓的代數(shù)問題與圓的平面性質(zhì)相結(jié)合．