Question

已知函數(shù)f（x）=

x2+2x+a

x

（1）當a=

1

2

，x∈（0，+∞）時，求函數(shù)f（x）的最小值
（2）若對于任意x∈[1，+∞），不等式f（x）＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）用分離常數(shù)法，把f（x）分離為f(x)=x+

1

2x

+2，再利用函數(shù)的單調(diào)性來求f（x）的最小值．
（2）先用分離常數(shù)法把函數(shù)分離，再分

a

和1的大小進行討論，并利用函數(shù)的單調(diào)性來求f（x）的最小值，即可求得實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：解：（1）當a=

1

2

時，f（x）=f(x)=x+

1

2x

+2．
通過討論單調(diào)性得，f（x）在（0，

2

2

）上為減函數(shù)，在[

2

2

，+∞）上為增函數(shù)．
∴f（x）min=f（

2

2

）=

2

+2．
（2）函數(shù)f（x）=x+

a

x

+2在（0，

a

]上是減函數(shù)，在[

a

，+∞）上是增函數(shù)．
若

a

＞1，即a＞1時，f（x）在區(qū)間[1，+∞）上先減后增，f（x）min=f（

a

）=2

a

+2．
若

a

≤1，即0＜a≤1時，
f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）min=f（1）=a+3．
而不等式f（x）＞0恒成立，說明a+3＞0，得a＞-3
求實數(shù)a的取值范圍（-3，+∞）．

點評：本題主要考查利考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，以及用函數(shù)的值域名解決不等式恒成立的條件，屬于中檔題．還考查分離常數(shù)法在求函數(shù)值域中的應(yīng)用，分離常數(shù)法求函數(shù)值域一般適用于分式函數(shù)，且分子為二次形式，而分母為一次形式的題．