Question

2．如圖，在△ABC中，D是線段BC上的一點(diǎn)，且$\overrightarrow{BC}=4\overrightarrow{BD}$，過(guò)點(diǎn)D的直線分別交直線AB，AC于點(diǎn)M，N，若$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}$=μ$\overrightarrow{AC}$（λ＞0，μ＞0），則λ+3μ的最小值是3．

Answer 1

分析 先確定λ，μ的關(guān)系，再利用導(dǎo)數(shù)法，即可求出λ+3μ的最小值．

解答 解：∵若$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}$=μ$\overrightarrow{AC}$（λ＞0，μ＞0），∴$\overrightarrow{MB}$=$\overrightarrow{MD}$+$\overrightarrow{DB}$=（1-λ）$\overrightarrow{AB}$，M，D，N三點(diǎn)共線，
∴存在實(shí)數(shù)k，使$\overrightarrow{MD}$=k$\overrightarrow{MN}$=k（$\overrightarrow{AN}$-$\overrightarrow{AM}$）=-kλ$\overrightarrow{AB}$+kμ$\overrightarrow{AC}$．
∵$\overrightarrow{DB}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{CB}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$，∴（$\frac{1}{4}$-kλ）$\overrightarrow{AB}$+（kμ-$\frac{1}{4}$）$\overrightarrow{AC}$=（1-λ）$\overrightarrow{AB}$，
∴$\frac{1}{4}$-kλ=1-λ，kμ-$\frac{1}{4}$=0，
∴μ=$\frac{λ}{4λ-3}$，λ+3μ=λ+$\frac{3λ}{4λ-3}$．
設(shè)f（λ）=λ+$\frac{3λ}{4λ-3}$，λ＞0，則f′（λ）=1+$\frac{-9}{{（4λ-3）}^{2}}$，
令f′（λ）=0得，λ=0，或 λ=$\frac{3}{2}$．
在（0，$\frac{3}{2}$）上，f′（λ）＜0； 在（ $\frac{3}{2}$，+∞）時(shí)，f′（λ）＞0；
∴λ=$\frac{3}{2}$時(shí)，f（λ）取極小值，也是最小值；
∴f（λ）的最小值為 3，即λ+3μ的最小值是3，
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 考查向量的加法、減法運(yùn)算，共線向量基本定理，以及平面向量基本定理，通過(guò)求導(dǎo)求函數(shù)的最小值的方法及過(guò)程，屬于中檔題．