Question

10．已知過點P（1，1）的直線l₁，l₂的斜率分別為k₁，k₂，圓O以原點為圓心，2為半徑，直線l₁交圓O于點M，N，直線l₂交圓O于點P、Q，若$\frac{|MN|}{|PQ|}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，且k₁+k₂=0，則k₁k₂等于（　�。�

• A． 1
• B． -$\frac{1}{9}$
• C． -9
• D． -$\frac{1}{9}$或-9

Answer 1

分析 求出圓心到直線的距離，利用勾股定理，求出|PQ|，|MN|，利用條件建立方程，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)直線l₁的方程為y-1=k₁（x-1），即k₁x-y-k₁+1=0，
圓心到直線的距離為$\frac{|1-{k}_{1}|}{\sqrt{{{k}_{1}}^{2}+1}}$，∴|MN|=2$\sqrt{4-\frac{（1-{k}_{1}）^{2}}{{{k}_{1}}^{2}+1}}$，
同理|PQ|=2$\sqrt{4-\frac{（1+{k}_{1}）^{2}}{{{k}_{1}}^{2}+1}}$，
∵$\frac{|MN|}{|PQ|}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
代入整理可得3k₁²-10k₁+3=0，
∴k₁=3或k₁=$\frac{1}{3}$，
∴k₁k₂=-k₁²=-$\frac{1}{9}$或-9，
故選：D．

點評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查勾股定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．