Question

已知直角梯形ABCD與等腰直角△APB所在平面互相垂直，AD∥BC，∠APB=∠ABC=90°，AB=BC=2AD=2，E為PB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：直線AE∥平面PCD；
（Ⅱ）求四面體C-PBD的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）取PC的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，DF，由已知得四邊形AEFD為平行四邊形，由此能證明AE∥平面PCD．
（2）取AB中點(diǎn)O，連結(jié)PO，由已知得PO⊥面ABCD，由V_C-PBD=V_P-BCD，利用等積法能求出四面體C-PBD的體積．

解答： （Ⅰ）證明：如圖，取PC的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，DF，
在△PBC中，PE=EB，PF=FC，
∴EF

∥

.

1

2

BC，又EF

∥

.

1

2

BC，∴EF

∥

.

AD，
∴四邊形AEFD為平行四邊形，
∴AE∥DF，又AE?平面PCD，DF?平面PCD，
∴AE∥平面PCD．
（2）如圖，取AB中點(diǎn)O，連結(jié)PO，
在△APB中，AP=PB，∠APB=90°，
∴PO⊥AB，且PO=

1

2

AB=1，
又∵面APB⊥面ABCD，面APB∩面ABCD=AB，
∴PO⊥面ABCD，
在直角梯形ABCD中，S△BCD=

1

2

×BC×AB=

1

2

×2×2=2，
∴四面體C-PBD的體積V_C-PBD=V_P-BCD=

1

3

S△BCD×PO=

1

3

×2×1=

2

3

．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的證明，考查四面體的體積的求法，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．