Question

設(shè)z是復(fù)數(shù)，以下命題中錯(cuò)誤的是（　�。�

A．z為實(shí)數(shù)的充分必要條件是z- . z =0

B．z為實(shí)數(shù)的充分必要條件是z2≥0

C．z為純虛數(shù)的充分必要條件是z+ . z =0

D．z為純虛數(shù)的充分必要條件是z2＜0

Answer 1

對于A：設(shè)z=a+bi，（a、b為實(shí)數(shù)）為實(shí)數(shù)的充分必要條件是b=0，而b=0時(shí)，
z=a=

.

z

，所以等價(jià)于z-

.

z

=0，說明A不錯(cuò)．
對于B：根據(jù)實(shí)數(shù)的平方非負(fù)的性質(zhì)可得，z²≥0則z為實(shí)數(shù)，反之也成立，說明B不錯(cuò)
對于C：z設(shè)z=a+bi，（a、b為實(shí)數(shù)），則z為純虛數(shù)的定義是a=0且b≠0
說明

.

z

=-bi，z=bi，z+

.

z

=0成立，但是反過來若z+

.

z

=0，有可能z=

.

z

=0，不能使z為純虛數(shù)
所以C是錯(cuò)誤的；
對于D：純虛數(shù)的一般形式是z=bi（b為非零的實(shí)數(shù)），
說明若z是純虛數(shù)，則z²=（bi）²=-b²＜0，說明充分性成立，
反之，若復(fù)數(shù)z滿足z²＜0，一方面說明z²是實(shí)數(shù)，另一方面說明z是虛數(shù)，說明z必定是純虛數(shù)，所以D也不錯(cuò)
故選C