Question

設(shè)z是復(fù)數(shù)，以下命題中錯誤的是（ ）
A．z為實數(shù)的充分必要條件是
B．z為實數(shù)的充分必要條件是z²≥0
C．z為純虛數(shù)的充分必要條件是
D．z為純虛數(shù)的充分必要條件是z²＜0

Answer 1

【答案】分析：對各選項分別加以判斷：由共軛復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，可得A選項是正確的，C選項是錯誤的；根據(jù)實數(shù)的平方是一個非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，可得B選項是正確的；根據(jù)實數(shù)的平方是一個非負(fù)數(shù)，并且當(dāng)且僅當(dāng)這個數(shù)是零時平方才為零，可得D也是正確的．
解答：解：對于A：設(shè)z=a+bi，（a、b為實數(shù)）為實數(shù)的充分必要條件是b=0，而b=0時，
z=a=，所以等價于，說明A不錯．
對于B：根據(jù)實數(shù)的平方非負(fù)的性質(zhì)可得，z²≥0則z為實數(shù)，反之也成立，說明B不錯
對于C：z設(shè)z=a+bi，（a、b為實數(shù)），則z為純虛數(shù)的定義是a=0且b≠0
說明，z=bi，成立，但是反過來若，有可能z=，不能使z為純虛數(shù)
所以C是錯誤的；
對于D：純虛數(shù)的一般形式是z=bi（b為非零的實數(shù)），
說明若z是純虛數(shù)，則z²=（bi）²=-b²＜0，說明充分性成立，
反之，若復(fù)數(shù)z滿足z²＜0，一方面說明z²是實數(shù)，另一方面說明z是虛數(shù)，說明z必定是純虛數(shù)，所以D也不錯
故選C
點評：本題以復(fù)數(shù)的概念為例，考查了充分條件與必要條件的判斷是，屬于基礎(chǔ)題．準(zhǔn)確運用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式結(jié)合實數(shù)的有關(guān)性質(zhì)加以判別，是解決本小題的關(guān)鍵．