Question

已知定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足：①?x，y∈（-∞，0）∪（0，+∞），f（x•y）=f（x）+f（y）；②當(dāng)x＞1時(shí)，f（x＞0），且f（2）=1．
（1）試判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性；
（3）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-4，0）∪（0，4]上的最大值；
（4）求不等式f（3x-2）+f（x）≥4的解集．

Answer 1

解：（1）令x=y=1，則f（1×1）=f（1）+f（1），得f（1）=0；
再令x=y=-1，則f[（-1）×（-1）]=f（-1）+f（-1），得f（-1）=0．
對(duì)于條件f（x•y）=f（x）+f（y），令y=-1，
則f（-x）=f（x）+f（-1），所以f（-x）=f（x）．
又函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)f（x）為偶函數(shù)．（3分）
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，則有．
又∵當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0，
∴
而，
所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．（6分）
（3）∵f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2），又f（2）=1，
∴f（4）=2．
又由（1）知函數(shù)f（x）在區(qū)間[-4，0）∪（0，4]上是偶函數(shù)且在（0，4]上是增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-4，0）∪（0，4]上的最大值為f（4）=f（-4）=2（9分）
（4）∵f（3x-2）+f（x）=f[x（3x-2）]，4=2+2=f（4）+f（4）=f（16）
∴原不等式等價(jià)于f[x（3x-2）]≥f（16）
又函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，且函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴原不等式又等價(jià)于|x（3x-2）|≥16，
即x（3x-2）≥16或x（3x-2）≤-16，
∴不等式f（3x-2）+f（x）≥4的解集為（12分）
分析：（1）先求f（-1）的值，令y=-1，推出f（-x）=f（x）+f（-1），f（-x）=f（x）．結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義，判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，直接判斷函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性；
（3）通過（1），（2）奇偶性，單調(diào)性，直接求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-4，0）∪（0，4]上的最大值；
（4）利用函數(shù)單調(diào)性，奇偶性，不等式f（3x-2）+f（x）≥4，轉(zhuǎn)化為|x（3x-2）|≥16，然后求出不等式的解集．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，函數(shù)的最值及其幾何意義，抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，是中檔題．