Question

已知向量

a

=(

3

， sin(x-

π

12

))，

b

=(sin(2x-

π

6

) ， 2sin(x-

π

12

))，

c

=(-

π

4

， 0)．定義函數(shù)f（x）=

a

•

b

．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象沿

c

方向移動(dòng)后，再將其各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍得到y(tǒng)=g（x）的圖象，求y=g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間及g（x）取得最大值時(shí)所有x的集合．

Answer 1

分析：（1）將坐標(biāo)代入數(shù)量積坐標(biāo)表示，利用三角恒等變換公式化簡得解析式f(x)=2sin(2x-

π

3

)+1
（2）由題設(shè)知f（x）的圖象左平移

π

4

個(gè)單位，再將其各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍得到y(tǒng)=g（x）的圖象，故g(x)=2sin(x+

π

6

)+1，再由正弦類函數(shù)的性質(zhì)求單調(diào)減區(qū)間與函數(shù)取到最大值自變量的集合即可．

解答：解：（1）

a

•

b

=( 

3

，sin(x-

π

12

))•(sin(2x-

π

6

)，2sin(x-

π

12

))
=

3

sin(2x-

π

6

)+2sin2(x-

π

12

)
=

3

sin(2x-

π

6

)+1-cos(2x-

π

6

)
=2sin(2x-

π

3

)+1
∴f(x)=2sin(2x-

π

3

)+1
（2）將f（x）的圖象沿

c

方向移動(dòng)，即向左平移

π

4

個(gè)單位，
其表達(dá)式為y=2sin[2(x+

π

4

)-

π

3

]+1，即y=2sin(2x+

π

6

)+1，
再將各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，得y=2sin(2×

x

2

+

π

6

)+1，
即g(x)=2sin(x+

π

6

)+1．
其單調(diào)遞減區(qū)間為[2kπ+

π

3

，2kπ+

4π

3

]，k∈Z
當(dāng)x+

π

6

=2kπ+

π

2

，即x=2kπ+

π

3

，k∈Z時(shí)，g(x)的最大值為3，
此時(shí)x的集合為{x|x=2kπ+

π

3

，k∈Z}．

點(diǎn)評：本題考點(diǎn)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，綜合考查了函數(shù)的圖象變換與三角函數(shù)的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度較高，題后應(yīng)好好體會一下此題的做題過程與思維脈絡(luò)．