Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=-a²x²+2a²x+2（a∈R），若f（x）＞0在x∈（-2，2）上恒成立，則a的取值范圍是（　�。�

• A． -$\frac{1}{12}＜a≤\frac{1}{2}$
• B． $a≤-\frac{1}{12}$或$a＞\frac{1}{2}$
• C． -4＜a≤2
• D． $-\frac{1}{2}≤a≤\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 對(duì)a=0和a≠0進(jìn)行討論，當(dāng)a≠0時(shí)，根據(jù)一元二次方程根的分布進(jìn)行求解即可．

解答 解：①當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）=-a²x²+2a²x+2=2恒大于0，在x∈（-2，2）上恒成立．
②當(dāng)a≠0時(shí)，函數(shù)f（x）開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸x=1，圖象恒過(guò)（0，2），f（2）＞0，要使f（x）＞0在x∈（-2，2）上恒成立，只需要f（-2）≥0即可，解得：$-\frac{1}{2}≤a＜0$或$0＜a≤\frac{1}{2}$．
綜上所得：a的取值范圍是{a|$-\frac{1}{2}≤a≤\frac{1}{2}$}；
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的恒成立問(wèn)題．屬于中檔題．