Question

10．已知函數(shù)f（x）=x-$\frac{1}{x}$，若不等式t•f（2^x）≥2^x-1對x∈（0，1]恒成立，則t的取值范圍為[$\frac{2}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得1＜2^x≤2，f（2^x）=2^x-2^-x在（0，1]遞增，可得t≥$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}-{2}^{-x}}$=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$對x∈（0，1]恒成立．求得右邊的最大值，即可得到t的范圍．

解答 解：由0＜x≤1，可得1＜2^x≤2，
f（2^x）=2^x-2^-x在（0，1]遞增，
且0＜f（2^x）≤$\frac{3}{2}$，
不等式t•f（2^x）≥2^x-1，即為t≥$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}-{2}^{-x}}$=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$
對x∈（0，1]恒成立．
由$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$=$\frac{1}{1+{2}^{-x}}$在（0，1]上遞增，可得x=1時(shí)，取得最大值$\frac{2}{3}$，
即有t≥$\frac{2}{3}$．
故答案為：[$\frac{2}{3}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．