Question

（本題滿分14分）已知函數(shù)f（x）＝ax2－|x|＋2a－1（a為實(shí)常數(shù)）．

（1）若a＝1，作函數(shù)f（x）的圖象；

（2）設(shè)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值為g（a），求g（a）的表達(dá)式；

（3）設(shè)h（x）＝，若函數(shù)h（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

 

 

Answer 1

（1）見解析（2） （3）

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)化簡函數(shù)式，由此可畫出圖像如下

（2）當(dāng)時(shí)，，對a加以討論，分這幾種情況，結(jié)合圖像，利用單調(diào)性可得

（3） 當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，依題意h（x）=ax+-1，h（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，由函數(shù)單調(diào)性定義可得

在區(qū)間[1，2]上任取x1，x2，且x1＜x2，

則h（x2）-h（x1） =（x2-x1）＞0，

因?yàn)閤2-x1＞0，x1x2＞0，所以ax1x2-（2a-1）＞0，即ax1x2＞2a-1，對a分情況討論得：

當(dāng)a=0時(shí)，上面的不等式變?yōu)?＞-1，即a=0時(shí)結(jié)論成立．

當(dāng)a＞0時(shí)，x1x2＞，由1＜x1x2＜4得，≤1，解得0＜a≤1，

當(dāng)a＜0時(shí)，x1x2＜，由1＜x1x2＜4得，≥4，解得

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為

試題解析： （1）當(dāng)a=1時(shí)，

作圖（如圖所示）

（2）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）=ax2-x+2a-1．

若a=0，則f（x）=-x-1在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，g（a）=f（2）=-3．

若a≠0，則，f（x）圖象的對稱軸是直線x=

當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，g（a）=f（2）=6a-3．

當(dāng)0＜＜1，即a＞時(shí)，f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，g（a）=f（1）=3a-2．

當(dāng)1≤2，即≤a≤時(shí)，g（a）=f（）=

當(dāng)>2，即0＜a＜時(shí)，f（x）在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，g（a）=f（2）=6a-3．

 

綜上可得

（3）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，h（x）=ax+-1，在區(qū)間[1，2]上任取x1，x2，且x1＜x2，

則h（x2）-h（x1）=（ax2+-1）-（ax1+-1）=（x2-x1）（a-）=（x2-x1）

因?yàn)閔（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，所以h（x2）-h（x1）＞0，

因?yàn)閤2-x1＞0，x1x2＞0，所以ax1x2-（2a-1）＞0，即ax1x2＞2a-1，

當(dāng)a=0時(shí)，上面的不等式變?yōu)?＞-1，即a=0時(shí)結(jié)論成立．

當(dāng)a＞0時(shí)，x1x2＞，由1＜x1x2＜4得，≤1，解得0＜a≤1，

當(dāng)a＜0時(shí)，x1x2＜，由1＜x1x2＜4得，≥4，解得

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為

考點(diǎn)：含絕對值的函數(shù)的圖像和性質(zhì)及分類討論思想．