Question

14．某中學(xué)隨機(jī)抽取50名高二學(xué)生調(diào)查其每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間（單位：分鐘），并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖），其中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間的范圍是[0，100]，樣本數(shù)據(jù)分組為[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．
（Ⅰ）求直方圖中x的值；
（Ⅱ）定義運(yùn)動(dòng)的時(shí)間不少于1小時(shí)的學(xué)生稱為“熱愛(ài)運(yùn)動(dòng)”，若該校有高一學(xué)生1200人，請(qǐng)估計(jì)有多少學(xué)生“熱愛(ài)運(yùn)動(dòng)”；
（Ⅲ）設(shè)m，n表示在抽取的50人中某兩位同學(xué)每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，且已知m，n∈[40，60）∪[80，100），求事件“|m-n|＞20”的概率．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖中小矩形的面積之和為1．能求出x．
（Ⅱ）先求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間不少于1小時(shí)的頻率，由此能求出不少于1小時(shí)的頻數(shù)，由此該校能估計(jì)“熱愛(ài)運(yùn)動(dòng)”的學(xué)生人數(shù)．
（Ⅲ）由直方圖知，成績(jī)?cè)赱40，60）的人數(shù)為3人，設(shè)為A，B，C，成績(jī)?cè)赱80，100]的人數(shù)為2人，設(shè)為x，y，由此利用列舉法能求出事件“|m-n|＞20”所包含的基本事件個(gè)數(shù)．

解答 解：（1）由20×（0.002+0.003+x+0.025）=1．
解得x=0.017．-------（2分）
（Ⅱ）運(yùn)動(dòng)時(shí)間不少于1小時(shí)的頻率為20×（0.002+0.003）=0.1，-----（3分）
不少于1小時(shí)的頻數(shù)為1200×0.1=120，
所以該校估計(jì)“熱愛(ài)運(yùn)動(dòng)”的學(xué)生有120人．------（5分）
（Ⅲ）由直方圖知，成績(jī)?cè)赱40，60）的人數(shù)為50×20×0.003=3人，設(shè)為A，B，C，-----（6分）
成績(jī)?cè)赱80，100]的人數(shù)為50×20×0.002=2人，設(shè)為x，y．------（7分）
若m，n∈[40，60）時(shí)，有AB，AC，BC三種情況，
若m，n∈[80，100]時(shí)，只有xy一種情況，------------------（8分）
若m，n分別在[40，60），[80，100]內(nèi)時(shí)，則有Ax，Ay，Bx，By，Cx，Cy，共有6種情況．所以基本事件總數(shù)為10種，---------------（10分）
事件“|m-n|＞20”所包含的基本事件個(gè)數(shù)有6種．
∴P（|m-n|＞20）=$\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$．-----------------------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意列舉法的合理運(yùn)用．