設(shè)(是自然對數(shù)的底數(shù)，)，且．
（1）求實數(shù)的值，并求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)，對任意，恒有成立．求實數(shù)的取值范圍；
（3）若正實數(shù)滿足，，試證明：；并進(jìn)一步判斷：當(dāng)正實數(shù)滿足，且是互不相等的實數(shù)時，不等式是否仍然成立．

（1）參考解析;（2）;（3）成立,參考解析

解析試題分析：（1）由(是自然對數(shù)的底數(shù)，)，且,即可求出.再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的值即可求出單調(diào)區(qū)間.
（2）對任意，恒有成立,通過去分母,整理成兩個函數(shù)的單調(diào)性的問題即，則在上單調(diào)遞增,又,再通過求導(dǎo)即可得到m的取值范圍.
（3）若正實數(shù)滿足，，則.通過代入函數(shù)關(guān)系式消元再用基本不等式即可得到結(jié)論.當(dāng)，且是互不相等的實數(shù)時，不等式是否仍然成立.有數(shù)學(xué)歸納法證明,當(dāng)n=k+1時利用轉(zhuǎn)化為k項的形式.再通過構(gòu)造即可得到結(jié)論.
（1）∵，，故．           1分
令得；令得.      3分
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為．      4分
（2）由變形得：．     5分
令函數(shù)，則在上單調(diào)遞增.           6分
即在上恒成立.           7分
而（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）
所以．                             9分
（3）證明：不妨設(shè)，由得：






其中，故上式的符號由因式“”的符號確定．
令，則函數(shù)．
，其中，得，故．即在上單調(diào)遞減，且．所以．
從而有成立．
該不等式能更進(jìn)一步推廣：
已知，是互不相等的實數(shù)，若正實數(shù)

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

經(jīng)英國相關(guān)機(jī)構(gòu)判斷，MH370在南印度洋海域消失.中國兩艦艇隨即在邊長為100海里的某正方形ABCD（如圖）海域內(nèi)展開搜索.兩艘搜救船在A處同時出發(fā)，沿直線AP、AQ向前聯(lián)合搜索，且（其中點P、Q分別在邊BC、CD上），搜索區(qū)域為平面四邊形APCQ圍成的海平面.設(shè)，搜索區(qū)域的面積為.
（1）試建立與的關(guān)系式，并指出的取值范圍；
（2）求的最大值，并求此時的值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知定義域為的函數(shù)同時滿足以下三個條件：
①對任意的，總有；
②；
③當(dāng)，且時，成立．
稱這樣的函數(shù)為“友誼函數(shù)”．
請解答下列各題：
(1)已知為“友誼函數(shù)”，求的值；
(2)函數(shù)在區(qū)間上是否為“友誼函數(shù)”？請給出理由；
(3)已知為“友誼函數(shù)”，假定存在，使得，且，求證：.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)（為實常數(shù)）．
（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)在區(qū)間上的最小值為，求的表達(dá)式．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

某公司為一家制冷設(shè)備廠設(shè)計生產(chǎn)一種長方形薄板，其周長為4米，這種薄板須沿其對角線折疊后使用．如圖所示，ABCD(AB>AD)為長方形薄板，沿AC折疊后，AB′交DC于點P.當(dāng)△ADP的面積最大時最節(jié)能，凹多邊形ACB′PD的面積最大時制冷效果最好．

(1)設(shè)AB＝x(米)，用x表示圖中DP的長度，并寫出x的取值范圍；
(2)若要求最節(jié)能，應(yīng)怎樣設(shè)計薄板的長和寬？
(3)若要求制冷效果最好，應(yīng)怎樣設(shè)計薄板的長和寬？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

對于函數(shù)f(x)若存在x0∈R，f(x0)＝x0成立，則稱x0為f(x)的不動點．已知f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)．
(1)當(dāng)a＝1，b＝－2時，求函數(shù)f(x)的不動點；
(2)若對任意實數(shù)b，函數(shù)f(x)恒有兩個相異的不動點，求a的取值范圍；
(3)在(2)的條件下，若y＝f(x)圖象上A，B兩點的橫坐標(biāo)是函數(shù)f(x)的不動點，且A，B兩點關(guān)于直線y＝kx＋對稱，求b的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

(2014·孝感模擬)已知定義在區(qū)間[0,2]上的兩個函數(shù)f(x)和g(x),其中f(x)=-x2+2ax+1+a2,g(x)=x-+.
(1)求函數(shù)f(x)的最小值.
(2)對于?x1,x2∈[0,2],f(x1)>g(x2)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

為了凈化空氣，某科研單位根據(jù)實驗得出，在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個單位的凈化劑，空氣中釋放的濃度y（單位：毫克/立方米）隨著時間(單位：天)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為若多次噴灑，則某一時刻空氣中的凈化劑濃度為每次投放的凈化劑在相應(yīng)時刻所釋放的濃度之和．由實驗知,當(dāng)空氣中凈化劑的濃度不低于4(毫克/立方米)時，它才能起到凈化空氣的作用．
（1）若一次噴灑4個單位的凈化劑，則凈化時間可達(dá)幾天?
（2）若第一次噴灑2個單位的凈化劑，6天后再噴灑a（）個單位的藥劑，要使接下來的4天中能夠持續(xù)有效凈化，試求的最小值（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：取1.4）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知冪函數(shù)f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)，經(jīng)過點(2，)，試確定m的值，并求滿足條件f(2－a)>f(a－1)的實數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案