Question

數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足an+2-an+1=an+1-an=a1+1=1(n∈N*)，當(dāng)x∈[a_n，a_n+1）時(shí)，f（x）=a_n-2，則方程2^f（x）=x的根的個(gè)數(shù)為（　�。�

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：由已知可得數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為0，公差為1的等差數(shù)列，即a_n=n-1，進(jìn)而可得當(dāng)x∈[n-1，n）時(shí)，f（x）=n-3，分析出函數(shù)y=f（x）和y=log₂x的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可得到方程2^f（x）=x的根的個(gè)數(shù)．

解答：解：∵an+2-an+1=an+1-an=a1+1=1(n∈N*)，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為0，公差為1的等差數(shù)列
故a_n=n-1
又∵當(dāng)x∈[n-1，n）時(shí)，f（x）=n-3，
當(dāng)n=1時(shí)，x∈[0，1）時(shí)，f（x）=-2，
當(dāng)n=2時(shí)，x∈[1，2）時(shí)，f（x）=-1，
當(dāng)n=1時(shí)，x∈[2，3）時(shí)，f（x）=0，
當(dāng)n=1時(shí)，x∈[3，4）時(shí)，f（x）=1，
…
又由方程2^f（x）=x的根
即為f（x）=log₂x的根
在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y=f（x）和y=log₂x的圖象如下圖，

由圖可得y=f（x）和y=log₂x的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)
故方程2^f（x）=x的根的個(gè)數(shù)為2個(gè)
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，其中根據(jù)已知分析出f（x）的表達(dá)式，是解答的關(guān)鍵．