(2013•浦東新區(qū)二模)數(shù)列{an}滿足an+1=
4an-2
an+1
(n∈N*).
①存在a1可以生成的數(shù)列{an}是常數(shù)數(shù)列;
②“數(shù)列{an}中存在某一項ak=
49
65
”是“數(shù)列{an}為有窮數(shù)列”的充要條件;
③若{an}為單調(diào)遞增數(shù)列,則a1的取值范圍是(-∞,-1)∪(1,2);
④只要a1
3k-2k+1
3k-2k
,其中k∈N*,則
lim
n→∞
an
一定存在;
其中正確命題的序號為
①④
①④
分析:根據(jù)已知中數(shù)列{an}滿足an+1=
4an-2
an+1
(n∈N*).舉出正例a1=1或a1=2,可判斷①;舉出反例a1=
1
5
,可判斷②;舉出反例a1=-2,可判斷③;構(gòu)造數(shù)列bn=
an-1
an-2
,結(jié)合已知可證得數(shù)列{bn}是以
3
2
為公比的等比數(shù)列,進(jìn)而可判斷④.
解答:解:當(dāng)a1=1時,an=1恒成立,當(dāng)a1=2時,an=2恒成立,故①正確;
當(dāng)a1=
1
5
時,a2=-1,數(shù)列{an}為有窮數(shù)列,但不存在某一項ak=
49
65
,故②錯誤;
當(dāng)a1=-2時,a1∈(-∞,-1)∪(1,2),此時a2=10 a3=
38
11
,數(shù)列不存在單調(diào)遞增性,故③錯誤;
an+1=
4an-2
an+1

an+1-1=
4an-2
an+1
-1
=
3an-3
an+1
…①
an+1-2=
4an-2
an+1
-2
=
2an-4
an+1
…②
①÷②得:
an+1-1
an+1-2
=
3
2
an-1
an-2

令bn=
an-1
an-2
,則數(shù)列{bn}是以
3
2
為公比的等比數(shù)列
則bn=(
3
2
)n-1b1

∴an=
2•(
3
2
)
n-1
b1+1
(
3
2
)
n-1
b1-1
=2+
3
(
3
2
)
n-1
b1-1

當(dāng)a1
3k-2k+1
3k-2k
時,2+
3
(
3
2
)
n-1
b1-1
的極限為2,否則式子無意義,故④正確
故答案為:①④
點評:本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體,考查了數(shù)列的定義及性質(zhì),運算強度大,變形復(fù)雜,屬于難題
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