Question

5．選擇適當?shù)姆椒ㄗC明
（1）$\sqrt{7}$+$\sqrt{13}$＜3+$\sqrt{11}$；
（2）已知a，b，c＞0，求證：a（b²+c²）+b（c²+a²）+c（a²+b²）≥6abc．

Answer 1

分析 （1）兩邊平方，使用分析法逐步找出使不等式成立的條件；
（2）使用基本不等式得出結論．

解答 證明：（1）欲證$\sqrt{7}$+$\sqrt{13}$＜3+$\sqrt{11}$，
只需證（$\sqrt{7}$+$\sqrt{13}$）²＜（3+$\sqrt{11}$）²，即20+2$\sqrt{91}$＜20+6$\sqrt{11}$．
只需證$\sqrt{91}$＜3$\sqrt{11}$，即證$\sqrt{91}$$＜\sqrt{99}$．
只需證91＜99．
顯然91＜99恒成立，
∴$\sqrt{7}$+$\sqrt{13}$＜3+$\sqrt{11}$．
（2）∵b²+c²≥2bc，a＞0，∴a（b²+c²）≥2abc．
同理可得：b（c²+a²）≥2abc，c（a²+b²）≥2abc，
∴a（b²+c²）+b（c²+a²）+c（a²+b²）≥6abc．

點評 本題考查了不等式的證明方法，根據(jù)式子特點合理選擇證明方法，屬于基礎題．