Question

20．一個(gè)四面體，其中一個(gè)頂點(diǎn)A的三個(gè)角分別為60°，θ，90°，其中tanθ=2，則θ角與60°角所在面的二面角的余弦值為$-\frac{{\sqrt{3}}}{6}$．

Answer 1

分析 設(shè)四面體為A-BCD，過B作BE⊥AD于E，過E作EF⊥AD，交AC于F，連接BF，則∠BEF是θ角與60°角所在面的二面角的平面角，根據(jù)三角形的邊角公式以及余弦定理進(jìn)行求解即可．

解答 解：設(shè)∠BAC=90°，∠BAD=60°，∠DAC=θ，
過B作BE⊥AD于E，過E作EF⊥AD，交AC于F，連接BF，
則∠BEF是θ角與60°角所在面的二面角的平面角，
設(shè)AE=1，則AB=2，BE=$\sqrt{3}$，
∵tanθ=2=$\frac{EF}{AE}$=$\frac{EF}{1}$，
∴EF=2，AF=$\sqrt{A{E}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{1+4}$=$\sqrt{5}$，
在直角三角形BAF中，BF=$\sqrt{A{B}^{2}+A{F}^{2}}$=$\sqrt{4+5}=\sqrt{9}$=3，
由余弦定理得cos∠BEF=$\frac{E{F}^{2}+B{E}^{2}-B{F}^{2}}{2EF•BE}$=$\frac{4+3-9}{2×2×\sqrt{3}}=\frac{-2}{4\sqrt{3}}$=$\frac{-1}{2\sqrt{3}}$=$-\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，
故答案為：$-\frac{{\sqrt{3}}}{6}$．

點(diǎn)評 本題主要考查二面角的求解，根據(jù)二面角的定義作出二面角的平面角，結(jié)合三角形的邊角關(guān)系以及余弦定理是解決本題的關(guān)鍵．