Question

4．已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a₁=b₁=3，a₂+b₂=14，a₃+a₄+a₅=b₃．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=a_n+b_n，n∈N^*，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （I）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（II）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，且q＞0．
依題意有，$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+d+{b_1}q=14\\ 3（{a_1}+3d）={b_1}{q^2}.\end{array}\right.$
由a₁=b₁=3，又q＞0，
解得$\left\{\begin{array}{l}q=3\\ d=2.\end{array}\right.$
∴a_n=a₁+（n-1）d=3+2（n-1）=2n+1，即a_n=2n+1，n∈N^*．
${b_n}={b_1}{q^{n-1}}=3×{3^{n-1}}={3^n}$，n∈N^*．
（Ⅱ）∵${c_n}={a_n}+{b_n}=2n+1+{3^n}$，
∴前n項(xiàng)和S_n=（a₁+a₂+…+a_n）+（b₁+b₂+…+b_n）
=（3+5+…+2n+1）+（3¹+3²+…+3ⁿ）
=$\frac{n（3+2n+1）}{2}+\frac{{3（1-{3^n}）}}{1-3}$=$n（n+2）+\frac{3}{2}（{3^n}-1）$．
∴前n項(xiàng)和${S_n}=n（n+2）+\frac{3}{2}（{3^n}-1），n∈{N^*}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．