Question

已知數(shù)列滿足，，．

（1）若成等比數(shù)列，求的值；

（2）是否存在，使數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）存在，當(dāng)a1＝1時(shí)，數(shù)列{an}為等差數(shù)列．

【解析】

試題分析：（1）首先利用遞推公式把都用表示，再根據(jù)成等比數(shù)列，列方程解出的值.（2）對(duì)于這類開放性問題，處理的策略就是先假設(shè)存在a1，使數(shù)列{an}為等差數(shù)列，與（1）類似，根據(jù)成等差數(shù)列，有，從面得到關(guān)于的方程，方程若有解則存在，否則可認(rèn)為不存在a1，使數(shù)列{an}為等差數(shù)列.

試題解析：（1）∵0＜a1＜2，

∴a2＝2－|a1|＝2－a1，a3＝2－|a2|＝2－|2－a1|＝2－(2－a1)＝a1．

∵a1，a2，a3成等比數(shù)列，

∴a22＝a1a3，即(2－a1)2＝a12，

解得a1＝1． 6分

（2）假設(shè)這樣的等差數(shù)列存在，則

由2a2＝a1＋a3，得2(2－a1)＝2a1，

解得a1＝1．

從而an＝1（n∈N*），此時(shí){an}是一個(gè)等差數(shù)列；

因此，當(dāng)且僅當(dāng)a1＝1時(shí)，數(shù)列{an}為等差數(shù)列． 12分

考點(diǎn)：等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義.