Question

如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，E、F分別是PB、CD的中點(diǎn)，且.

（1）求證：；

（2）求證：;

（3）求二面角的余弦值.

 

Answer 1

（1）參考解析，（2）參考解析，（3）

【解析】

試題分析：（1）由所給的條件想通過(guò)線面垂直的判定定理比較困難，通過(guò)做輔助線，由于底面是一個(gè)含60度內(nèi)角的菱形，通過(guò)等邊三角形的三線合一的知識(shí)，轉(zhuǎn)化為先證線面垂直從而得到線線垂直，即可得到結(jié)論.

（2）要證只需在平面PAD內(nèi)找到一條平行于EF的線即可，根據(jù)題意只需取PA的中點(diǎn)即可.

（3）欲求二面角的余弦值，本小題通過(guò)構(gòu)造出二面角的平面角，再根據(jù)解三角形的知識(shí)求得相應(yīng)的邊長(zhǎng)，求得結(jié)論.

試題解析：（1）證明 取的中點(diǎn)連結(jié)

,為正三角形，

又

,

平面,同理可證

又平面 4分.

（2）取的中點(diǎn)，連結(jié)

且又且

，四邊形是平行四邊形，而平面

平面平面 8分

（3）取的中點(diǎn)過(guò)作于點(diǎn)連結(jié)

則又平面

是二面角的平面角.

在中，

又∽,.

在中，可求得，

故二面角的余弦值為 12分.

（注：若（2）、（3）用向量法解題，證線面平行時(shí)應(yīng)說(shuō)明平面內(nèi)，否則扣1分；求二面角的余弦值時(shí)，若得負(fù)值，亦扣1分.）

考點(diǎn)：1.線面垂直.2.線面平行.3.二面角的概念.