Question

已知函數(shù)f（x）=（

x-1

x+1

）²（x＞1）．
（1）求函數(shù)的反函數(shù)；
（2）若不等式（1-

x

）f^-1（x）＞m（m-

x

）對(duì)[

1

4

，

1

2

]上的每一個(gè)x值都成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：反函數(shù),函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由已知得

x-1

x+1

=

y

，整理，得x=

1+ y

1- y

，x，y互換，得函數(shù)的反函數(shù)．
（2）由已知得1+

x

＞m（m-

x

）成立，需f(

1

2

)＞0且f(

2

2

)＞0，解得-1＜m＜

3

2

．由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=y=（

x-1

x+1

）²，x＞1，
∴

x-1

x+1

=

y

，整理，得x=

1+ y

1- y

，
x，y互換，得y=

1+ x

1- x

，0＜x＜1，
∴函數(shù)的反函數(shù)f-1(x)=

1+ x

1- x

(0＜x＜1)
（2）欲使不等式（1-

x

）f^-1（x）＞m（m-

x

）對(duì)[

1

4

，

1

2

]上的每一個(gè)x值都成立，
即1+

x

＞m（m-

x

）成立，
令

x

=t，

1

2

≤t≤

2

2

，即1+t＞m(m-t)在[

1

2

，

2

2

]成立，令f(t)=(1+m)t+1-m2，
則需f(

1

2

)＞0且f(

2

2

)＞0，解得-1＜m＜

3

2

．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-1，

3

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查反函數(shù)的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．