Question

8．給出下列命題
①函數(shù)f（x）=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）的圖象關(guān)于x=π對稱的圖象的函數(shù)解析式為y=sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{6}$）；
②函數(shù)f（x）=$\sqrt{x-1}$+$\frac{1}{x}$在定義域上是增函數(shù)；
③函數(shù)f（x）=|log₂x|-（$\frac{1}{2}$）^x在（0，+∞）上恰有兩個零點x₁，x₂，且x₁x₂＜1．
其中真命題的個數(shù)有（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 直接求出函數(shù)f（x）=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）的圖象關(guān)于x=π對稱的圖象的函數(shù)解析式判斷①；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性判斷②；畫圖說明③正確．

解答 解：①由f（x）=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$），設(shè)其圖象關(guān)于x=π對稱的圖象的函數(shù)解析式為y=g（x），
設(shè)g（x）上一點（x，y），它關(guān)于x=π的對稱點是（2π-x，y），這個對稱點必然在f（x）上，
∴y=sin（$\frac{2π-x}{2}+\frac{π}{6}$）=sin（$\frac{x}{2}-\frac{π}{6}$），故①正確；
②函數(shù)f（x）=$\sqrt{x-1}$+$\frac{1}{x}$=$（x-1）^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{x}$的定義域為[1，+∞），
且f′（x）=$\frac{1}{2}（x-1）^{-\frac{1}{2}}-\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{1}{2\sqrt{x-1}}-\frac{1}{{x}^{2}}$，
∵（x-2）²≥0，∴x²≥4x-4，即x≥$2\sqrt{x-1}$，
又當x≥1時，x²≥x，∴${x}^{2}≥2\sqrt{x-1}$，∴f′（x）=$\frac{1}{2}（x-1）^{-\frac{1}{2}}-\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{1}{2\sqrt{x-1}}-\frac{1}{{x}^{2}}$≥0，
函數(shù)f（x）=$\sqrt{x-1}$+$\frac{1}{x}$在定義域上是增函數(shù)，故②正確；
③畫出函數(shù)函數(shù)g（x）=|log₂ x|-（$\frac{1}{2}$）^x在（0，+∞）的圖象：
上恰有兩個零點x₁，x₂．
不妨設(shè)x₁＜x₂．
則0＜x₁＜1＜x₂．
-log₂x₁=$（\frac{1}{2}）^{{x}_{1}}$，log₂x₂=$（\frac{1}{2}）^{{x}_{2}}$．
∴l(xiāng)og₂（x₁x₂）=$（\frac{1}{2}）^{{x}_{2}}-（\frac{1}{2}）^{{x}_{1}}$＜0，
∴x₁•x₂＜1，故③正確．
∴正確的命題的個數(shù)是3．
故選：D．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，考查函數(shù)的圖象和性質(zhì)，訓練了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．