Question

已知艦A在艦B的正東，距離6公里，艦C在艦B的北偏西30？，距離4公里，它們準(zhǔn)備圍找海洋動物，某時刻艦A發(fā)現(xiàn)動物信號，4秒后，艦B，C同時發(fā)現(xiàn)這種信號，A于是發(fā)射麻醉炮彈，設(shè)艦與動物都是靜止的，動物信號的傳播速度為1公里/1秒，求艦A炮擊的方位角．

Answer 1

分析：為確定海洋動物的位置，首先設(shè)直線BA為x軸，線段BA的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，據(jù)題設(shè)，得B（-3，0），A（3，0），C（-5，2

3

），且動物P（x，y）在BC的中垂線l上，由BC中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-4，

3

），k_BC=-

3

．知l的方程為y-

3

=

3

3

（x+4），由此能求出艦A炮擊的方位角．

解答：解：為確定海洋動物的位置，
首先設(shè)直線BA為x軸，
線段BA的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系（如圖），
據(jù)題設(shè)，得B（-3，0），A（3，0），C（-5，2

3

）
且動物P（x，y）在BC的中垂線l上，
∵BC中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-4，

3

），k_BC=-

3

．
∴l(xiāng)的方程為y-

3

=

3

3

（x+4）
即：y=

3

3

（x+7）…①
又∵|PB|-|PA|=4（公里）
∴P又在以B，A為焦點(diǎn)的雙曲線右支上．
雙曲線方程為

x2

4

-

y2

5

=1 （x≥2）…②
由①②消去y得  11x²-56x-256=0，
解的x₁=-

32

11

 （舍去），x₂=8．
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（8，5

3

），
于是tan∠xAP=kAP=

5 3

8-3

=

3

，
∴∠xAP=60°，故艦A炮擊的方位角為北偏東30°．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．