如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC=90°，AB=2，AC=6，點(diǎn)D在線段BB1上，且BD=
1
3
BB1，A1C∩AC1=E．
（1）求證：直線DE與平面ABC不平行；
（2）設(shè)平面ADC1與平面ABC所成的銳二面角為θ，若cosθ=
7
7
，求AA1的長(zhǎng)．
考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定
專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析：（1）建立坐標(biāo)系，求出
DE
=（-2，3，
h
6
），平面ABC的法向量為
n1
=（0，0，1），可得
DE
•
n1
=
h
6
≠0，即可證明直線DE與平面ABC不平行；
（2）求出平面ADC1的法向量，利用平面ADC1與平面ABC所成的銳二面角為θ，cosθ=
7
7
，建立方程，即可求得結(jié)論．
解答： 解：（1）建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)AA1=h，則
DE
=（-2，3，
h
6
），平面ABC的法向量為
n1
=（0，0，1），
∵
DE
•
n1
=
h
6
≠0，
∴直線DE與平面ABC不平行；
（2）設(shè)平面ADC1的法向量為
n2
=（x，y，z），則
∵
AD
=（2，0，
h
3
），
AC1
=（0，6，h），
∴
2x+
hz
3
=0
6y+hz=0

∴
n2
=（-
h
6
，-
h
6
，1），
∵平面ADC1與平面ABC所成的銳二面角為θ，cosθ=
7
7
，
∴
1
h2
18
+1
=
7
7
，
∴h=6
3
，即AA1=6
3
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的判定，考查二面角的平面角及求法，正確運(yùn)用向量法是關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)y=
1
3
x3-x2+1（0＜x＜2）的圖象上任意點(diǎn)處切線的傾斜角為α，則α的最小值是（　�。�
A、
π
6
B、
3π
4
C、
π
4
D、
5π
6

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=
1
2
AB=1．
（Ⅰ）證明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC與PB所成的角的余弦值；
（Ⅲ）求線BP與面PAC所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知α為銳角，且tanα=
2
-1，函數(shù)f（x）=2xtan2α+sin（2α+
π
4
），數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，an+1=f（an）．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）若數(shù)列{bn}滿足b1=a1，bn=log2（an+1），設(shè)Tn=
1
b1+n
+
1
b2+n
+…+
1
bn+n
，若Tn＞m對(duì)n≥2恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=-x3+x2+b，g（x）=a1nx．
（1）若f(x)在x∈[-
1
2
，1)上的最大值為
3
8
，求實(shí)數(shù)b的值
（2）若存在x∈[1，e]，使得g（x）≤-x2+（a+2）x成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）在（1）的條件下，設(shè)F（x）=
f(x)，x＜1
g(x)，x≥1
，對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)a，曲線y=F（x）上是否存在兩點(diǎn)P，Q使得△POQ是以O(shè)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上？請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，三棱錐P-ABC中，D、E分別是△PAB、△PBC的重心．求證：DE∥平面ABC．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在數(shù)學(xué)中，等與不等是相對(duì)的，例如“當(dāng)a≤b且a≥b時(shí)，我們就可以得到a=b”．設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），且滿足f（-1）=0，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x都有f（x）-x≥0，且當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f（x）≤(
x+1
2
)2．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）求證：a＞0，c＞0；
（Ⅲ）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）-mx（m∈R）是單調(diào)的，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，BB1=BC．
（1）求證：平面DA1C1∥平面B1AC；
（2）求證：B1C⊥BD1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)1只甲產(chǎn)品需要A原料3克，B原料4克，C原料4克；每生產(chǎn)1只乙產(chǎn)品需要A原料2克，B原料5克，C原料6克；根據(jù)限額，每天A原料不超過120克，B原料不超過100克，C原料不超過240克；已知甲產(chǎn)品每只可獲利20元，乙產(chǎn)品每只可獲利10元，該工廠每天生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品各多少只，才能獲利最大？

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