已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a且公比q不等于1的等比數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)的和,a1,2a7,3a4成等差數(shù)列.
(I)證明12S3,S6,S12-S6成等比數(shù)列;
(II)求和Tn=a1+2a4+3a7+…+na3n-2.
分析:(1)由a1,2a7,3a4成等差數(shù)列,我們得到一個(gè)關(guān)于數(shù)列基本量(首項(xiàng)和公比)的方程,由于首項(xiàng)為a,則易求出公式,然后根據(jù)等比數(shù)列的定義判斷即可.
(2)由于Tn=a1+2a4+3a7+…+na3n-2中累加的每一項(xiàng)都是由兩部分的積組成,這兩部分一部分是等差數(shù)列,一部分是等比數(shù)列,故可用錯位相消法解答.
解答:(Ⅰ)證明:由a
1,2a
7,3a
4成等差數(shù)列,得4a
7=a
1+3a
4,
即4aq
6=a+3aq
3.
變形得(4q
3+1)(q
3-1)=0,
又∵公比q不等于1,所以4q
3+1=0
由
===.
=-1=-1=1+q6-1=q6=.
得
=.
所以12S
3,S
6,S
12-S
6成等比數(shù)列.
(Ⅱ)解:T
n=a
1+2a
4+3a
7+…+na
3n-2=a+2aq
3+3aq
6+…+naq
3(n-1).
即
Tn=a+2•(-)a+3•(-)2a+…+n•(-)n-1a.①
①×
(-)得:
-Tn=-a+2•(-)2a+3•(-)3a+…+(n-1)•(-)n-1a+n(-)na…②.
①-②得
Tn=
-n•(-)na=a-(+n)•(-)na.
所以
Tn=a-(+n)•(-)na.
點(diǎn)評:要判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差(比)數(shù)列,我們常用如下幾種辦法:①定義法,判斷數(shù)列連續(xù)兩項(xiàng)之間的差(比)是否為定值;②等差(比)中項(xiàng)法,判斷是否每一項(xiàng)都是其前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差(比)中項(xiàng);③通項(xiàng)公式法,判斷其通項(xiàng)公式是否為一次(指數(shù))型函數(shù);④前n項(xiàng)和公式法.