Question

8．如圖，在四棱錐A-BCDE中，底面BCDE為平行四邊形，且△ABE是以∠BAE為直角的等腰直角三角形，O為BE中點(diǎn)，且CO⊥CD，CO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，AB=a．
（1）證明：CD⊥平面AOC；
（2）若側(cè)面ABE⊥底面BCDE，且四棱錐A-BCDE的體積為36$\sqrt{2}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）證明：AO⊥CD，利用CO⊥CD，即可證明CD⊥平面AOC；
（2）若側(cè)面ABE⊥底面BCDE，AO⊥底面BCDE，利用四棱錐A-BCDE的體積為36$\sqrt{2}$，即可求a的值．

解答 （1）證明：∵AB=AE，BO=EO，
∴AO⊥BE，
∵BE∥CD，
∴AO⊥CD，
∵CO⊥CD，CO∩AO=O，
∴CD⊥平面AOC；
（2）證明：∵側(cè)面ABE⊥底面BCDE，AO⊥BE
∴AO⊥底面BCDE，
∵△ABE，AB=AC=a，∠BAE為直角，∴BE=$\sqrt{2}a$，AO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∵四棱錐A-BCDE的體積為36$\sqrt{2}$，
∴V_A-BCDE=$\frac{1}{3}×{a}^{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}a$=36$\sqrt{2}$，
∴a=6．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力，是中檔題．