Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)M（

2

，0），N（0，1）兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，求

PF1

•

PF2

的最大值；
（3）過(guò)點(diǎn)D（0，2）且斜率為k的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，若點(diǎn)E（0，

11

4

），求證：對(duì)任意k²＞

3

2

，

AE

•

BE

為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由于橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（

2

，0），N（0，1），則a=

2

，b=1．即可得到橢圓方程；
（2）求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用數(shù)量積的坐標(biāo)公式求出

PF1

•

PF2

，再由橢圓的性質(zhì)，即可得到最大值；
（3）設(shè)經(jīng)過(guò)D（0，2）且斜率為k的直線l：y=kx+2，聯(lián)立橢圓方程，消去y，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），運(yùn)用韋達(dá)定理，以及向量的坐標(biāo)，運(yùn)用數(shù)量積的坐標(biāo)公式，化簡(jiǎn)整理，即可得到定值．

解答： （1）解：由于橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（

2

，0），N（0，1），則a=

2

，b=1．
故橢圓C的方程為：

x2

2

+y²=1；
（2）解：由（1）知，a=

2

，b=1．c=1，則F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
設(shè)P（x，y），則

PF1

•

PF2

=（-1-x，-y）•（1-x，-y）=x²+y²-1
=x²+1-

x2

2

-1=

1

2

x²，
由于x∈[-

2

，

2

]，當(dāng)x=±

2

，
即P為橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)時(shí)，則

PF1

•

PF2

有最大值1；
（3）證明：設(shè)經(jīng)過(guò)D（0，2）且斜率為k的直線l：y=kx+2，聯(lián)立橢圓方程，消去y，
得（1+2k²）x²+8kx+6=0，又k²＞

3

2

，
則△=64k²-24（1+2k²）=16k²-24＞0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=

-8k

1+2k2

，x₁x₂=

6

1+2k2

，
又y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=-

2k2-4

2k2+1

，
y₁+y₂=（kx₁+2）+（kx₂+2）=k（x₁+x₂）+4=

4

2k2+1

，
又E（0，

11

4

），則

AE

=（-x₁，

11

4

-y₁），

BE

=（-x₂，

11

4

-y₂），
則有

AE

•

BE

=x₁x₂+

121

16

-

11

4

•（y₁+y₂）+y₁y₂
=

6

1+2k2

+

121

16

-

11

4

•

4

2k2+1

-

2k2-4

2k2+1

=

105

16

．
故對(duì)任意k²＞

3

2

，

AE

•

BE

為定值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)及運(yùn)用，考查平面向量的運(yùn)用，主要是數(shù)量積的坐標(biāo)公式的運(yùn)用，考查聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理，化簡(jiǎn)計(jì)算，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．