Question

已知方程x²+4ax+3a+1=0（a為大于1的常數(shù)）的兩根為tanα，tanβ，且α、β∈（-

π

2

，

π

2

），則tan

α+β

2

的值是

-2

．

Answer 1

分析：根據(jù)韋達(dá)定理表示出tanα+tanβ和tanαtanβ，然后利用兩角和的正切函數(shù)公式求出tan（α+β）的值，然后根據(jù)半角的三角函數(shù)公式列出關(guān)于tan

α+β

2

的方程，求出方程的解即可得到tan

α+β

2

的值，根據(jù)α和β的范圍求出α+β的范圍，進(jìn)而求出

α+β

2

的范圍，即可得到滿(mǎn)足題意的tan

α+β

2

的值．

解答：解：由方程x²+4ax+3a+1=0（a為大于1的常數(shù)）的兩根為tanα，tanβ，
得到tanα+tanβ=-4a＜0，tanαtanβ=3a+1＞，
則tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

-4a

1-(3a+1)

=

4

3

＞0，tanα＜0，tanβ＜0，
又因?yàn)棣�、β∈�?

π

2

，

π

2

），得到α+β∈（-π，π），
所以α+β∈（-π，-

π

2

），則

α+β

2

∈（-

π

2

，-

π

4

），
而tan（α+β）=

2tan α+β 2

1-tan2 α+β 2

，
所以

2tan α+β 2

1-tan2 α+β 2

=

4

3

，即（2tan

α+β

2

-1）（tan

α+β

2

+2）=0，
解得tan

α+β

2

=

1

2

（不合題意，舍去），tan

α+β

2

=-2，
故答案為：-2

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用兩角和的正切函數(shù)公式及半角函數(shù)公式化簡(jiǎn)求值，是一道綜合題．學(xué)生在求出tan

α+β

2

的值后，會(huì)利用角度的范圍舍去不合題意的值．