Question

已知曲線C：

x2

an2

-y²=1（a_n＞0，n∈N^*）的離心率為e=

1+ 1 n2

．
（1）求a_n；
（2）令b_n=

1

anan+1

，T_n=b₁+b₂+…+b_n，求證：T_n＜1．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由曲線C：

x2

an2

-y²=1（a_n＞0，n∈N^*）可得a=a_n，b=1，再利用離心率計算公式e=

c

a

=

1+ b2 a2

即可得出．
（2）由b_n=

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用“裂項求和”即可得出T_n．即可證明．

解答： （1）解：由曲線C：

x2

an2

-y²=1（a_n＞0，n∈N^*）可得a=a_n，b=1，
又離心率為e=

1+ 1 n2

，∴

1+ 1 n2

=

1+ 1 a 2 n

，解得a_n=n．
（2）證明：b_n=

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

＜1．
∴T_n＜1．

點評：本題考查了雙曲線的離心率計算公式、數(shù)列的通項公式、“裂項求和”方法、不等式的證明，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．