Question

已知函數(shù)f（x）=

2x

x+2

，數(shù)列a_n滿足：a₁=

4

3

，a_n+1=f（a_n）．
（1）求證數(shù)列{

1

an

}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）記S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，求證：S_n＜

8

3

．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）直接利用a_n+1=f（a_n）得到a_n+1=

2an

an+2

，再對其取倒數(shù)整理即可證數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列；進而求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）利用（1）的結論以及所問問題的形式，直接利用裂項相消求和法即可求S_n．

解答： 證明：（1）由題意可得 a_n+1=

2an

an+2

，
∴

1

an+1

-

1

an

=

1

2

，
∴數(shù)列{

1

an

}為等差數(shù)列，
∵a₁=

4

3

，
∴

1

a1

=

3

4

，
∴

1

an

=

3

4

+

n-1

2

=

2n+1

4

，
∴a_n=

4

2n+1

；
（2）a_na_n+1=8（

1

2n+1

-

1

2n+3

），
∴S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=8（

1

3

-

1

5

…+

1

2n+1

-

1

2n+3

）=8（

1

3

-

1

2n+3

）＜

8

3

．

點評：本小題主要考查等差數(shù)列的應用、數(shù)列的求和、數(shù)列與函數(shù)的綜合等基礎知識，考查運算求解能力與轉化思想．屬于中檔題．