若點O為△ABC的外心，AB=2m，AC=
2
m
（m＞0），∠BAC=120°，且
AO
=x
AB
+y
AC
（x、y為實數(shù)），則x+y的最小值是
 
．
考點：平面向量的基本定理及其意義
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：如圖所示，
AB
•
AC
=2m•
2
m
•cos120°=-2．由
AO
=x
AB
+y
AC
（x、y為實數(shù)），分別作數(shù)量積可得
AO
•
AB
=x
AB
2+y
AC
•
AB
，
AO
•
AC
=x
AB
•
AC
+y
AC
2，化簡解出x，y（用m表示），再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．
解答： 解：如圖所示，
AB
•
AC
=2m•
2
m
•cos120°=-2．
∵
AO
=x
AB
+y
AC
（x、y為實數(shù)），
∴
AO
•
AB
=x
AB
2+y
AC
•
AB
，
AO
•
AC
=x
AB
•
AC
+y
AC
2，
∴
1
2
AB
2=x
AB
2-2y，
1
2
AC
2=-2x+y
AC
2，
∴
1
2
×(2m)2=x(2m)2-2y，
1
2
(
2
m
)2=-2x+y(
2
m
)2，
解得y=
2+m2
3
，x=
2m2+1
3m2
．
∴x+y=
1
3
(m2+
1
m2
)+
4
3
≥
1
3
×2
m2×
1
m2
+
4
3
=2．當且僅當m=1時取等號．
∴x+y的最小值是2．
故答案為：2．
點評：本題考查了三角形的外心的性質(zhì)、數(shù)量積運算性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
sinωxsin（
π
2
+ωx）-cos2ωx-
1
2
（ω＞0），其圖象兩相鄰對稱軸間的距離為
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且c=
7
，f（C）=0，若向量
m
=（1，sinA）與向量
n
=（3，sinB）共線，求a，b的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若復(fù)數(shù)z=
6+ai
3-i
（其中a∈R，i是虛數(shù)單位）的實部與虛部相等，則a=（　�。�
A、3B、6C、9D、12

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

sin330°+（
2
-1）0+3 log32=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，⊙O的半徑為6，線段AB與⊙相交于點C、D，AC=4，∠BOD=∠A，OB與⊙O相交于點．
（1）求BD長；
（2）當CE⊥OD時，求證：AO=AD．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖正方形ABCD的邊長為2
2
，四邊形BDEF是平行四邊形，BD與AC交于點G，O為GC的中點，F(xiàn)O=
3
，且FO⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求證：AE∥平面BCF；
（Ⅱ）求證：CF⊥平面AEF；
（Ⅲ）求二面角A-CF-B余弦值的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=cosx（sinx-
3
cosx）+
3
2

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，
π
2
]上的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若一個正四棱錐的左視圖是一個邊長為2的正三角形（如圖），則該正四棱錐的體積是（　�。�
A、1
B、
3
C、
4
3
3
D、2
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求函數(shù)y=tan2x-2tanx-3，當x∈[-
π
3
，
π
4
]時的值域．

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