Question

如圖正方形ABCD的邊長為2

2

，四邊形BDEF是平行四邊形，BD與AC交于點G，O為GC的中點，F(xiàn)O=

3

，且FO⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求證：AE∥平面BCF；
（Ⅱ）求證：CF⊥平面AEF；
（Ⅲ）求二面角A-CF-B余弦值的大�。�

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）取BC中點H，連結(jié)OH，則OH∥BD，由正方形性質(zhì)得AC⊥BD，從而OH⊥AC，以O(shè)為原點，建立直角坐標系，利用向量法能證明AE∥平面BCF．
（Ⅱ）求出

CF

•

AF

=0，

CF

•

AE

=0，從而

CF

⊥

AF

，

CF

⊥

AE

，由此能證明CF⊥平面AEF．
（Ⅲ）求出平面ACF的法向量和平面BCF的法向量，由此利用向量法能求出二面角A-CF-B余弦值的大�。�

解答： （Ⅰ）證明：取BC中點H，連結(jié)OH，則OH∥BD，
又四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD，
∴OH⊥AC，∴以O(shè)為原點，建立如圖所示的直角坐標系，
則A（3，0，0），E（1，2，0），C（-1，0，0），
D（1，-2，0），F(xiàn)（0，0，

3

），

BC

=（-2，-2，0），

CF

=（1，0，

3

），

BF

=（-1，-2，

3

），
設(shè)平面BCF的法向量為

n

=（x，y，z），
則

n • BC =-2x-2y=0 n • CF =x+ 3 z=0

，取z=1，得

n

=（-

3

，

3

，1），
又四邊形BDEF為平行四邊形，
∴

DE

=

BF

=(-1，-2，

3

)，
∴

AE

=

AD

+

DE

=

BC

+

DE

=（-2，-2，0）+（-1，-2，

3

）=（-3，-3，

3

），
∴

AE

•

n

=3

3

-4

3

+

3

=0，
∴AE⊥

n

，又AE?平面BCF，∴AE∥平面BCF．
（Ⅱ）證明：

AF

=(-3，0，

3

)，

CF

•

AF

=-3+3=0，

CF

•

AE

=-3+3=0，
∴

CF

⊥

AF

，

CF

⊥

AE

，
又AE∩AF=A，∴CF⊥平面AEF．
（Ⅲ）解：∵OH⊥平面ACF，
∴

OH

=(0，1，0)是平面ACF的法向量，
平面BCF的法向量為

n

=（-

3

，

3

，1），
設(shè)二面角A-CF-B的平面角為θ，
∴cosθ=

OH • n

| OH |•| n |

=

3

7

=

21

7

．

點評：本題考查線面平行、線面垂直的證明，考查二面角的平面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要注意向量法的合理運用．