Question

19．如圖，AB是圓O的直徑，弦BD，CA的延長線相交于點E，EF垂直BA的延長線于點F．求證：AB²=BE•BD-AE•AC．

Answer 1

分析 如圖所示，連接AD，BC．由AB是圓O的直徑，可得∠ADB=∠ACB=90°．由EF⊥FB，可得四點A、D、E、F共圓，利用切割線定理：BD•BE=AB•BF=AB•（AB+AF）=AB²+AB•AF．由已知可得：△EFA∽△BCA．可得AB•AF=AE•AC．即可證明．

解答 證明：如圖所示，連接AD，BC．
∵AB是圓O的直徑，∴∠ADB=∠ACB=90°．
∵EF⊥FB，∴∠EFB=90°=∠ADB，
∴四點A、D、E、F共圓，
∴BD•BE=AB•BF=AB•（AB+AF）=AB²+AB•AF．
又△EFA與△BCA中，∴∠EAFB=∠BAC，
∠EFA=∠BCA．
∴△EFA∽△BCA．
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AF}{AC}$，∴AB•AF=AE•AC．
∴AB²=BE•BD-AE•AC．

點評 本題考查了四點共圓、切割線定理、圓的性質(zhì)、三角形相似判定與性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．