Question

11．如圖，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圓的直徑，點(diǎn)B和點(diǎn)C在直線AE的兩側(cè)．求證：AB•AC=AD•AE．

Answer 1

分析 如圖所示，連接BE．AE是△ABC的外接圓的直徑，可得∠ABE=90°．由∠AEB與∠ACB都對(duì)應(yīng)$\widehat{AB}$，可得∠AEB=∠ACB．可得△ABE∽△ADC．即可證明結(jié)論．

解答 證明：如圖所示，連接BE．
∵AE是△ABC的外接圓的直徑，
∴∠ABE=90°．
由AD⊥BC，∴∠ADC=90°，
∴∠ABE=∠ADC=90°．
由∠AEB與∠ACB都對(duì)應(yīng)$\widehat{AB}$，∴∠AEB=∠ACB．
∴△ABE∽△ADC．
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AB}{AD}$，
∴AB•AC=AD•AE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的性質(zhì)、相似三角形的判定應(yīng)與性質(zhì)定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．