Question

在平面直角坐標系中，如果x與y都是整數(shù)，就稱點（x，y）為整點，下列命題中正確的是

 

（寫出所有正確命題的編號）．
①存在這樣的直線，既不與坐標軸平行又不經(jīng)過任何整點
②如果k與b都是無理數(shù)，則直線y=kx+b不經(jīng)過任何整點
③直線y=kx+b經(jīng)過無窮多個整點的充分必要條件是：k與b都是有理數(shù)
④存在恰經(jīng)過一個整點的直線．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：新定義

分析：①舉例說明該命題正確；
②舉例說明該命題錯誤；
③通過理論說明該命題錯誤；
④舉例說明該命題正確．

解答： 解：對于①，令y=x+

1

2

，則該直線既不與坐標軸平行又不經(jīng)過任何整點，∴①正確；
對于②，若k=

2

，b=-

2

，則直線y=

2

x-

2

經(jīng)過（1，0），∴②錯誤；
對于③，設y=kx為過原點的直線，若此直線l過不同的整點（x₁，y₁）和（x₂，y₂），
把兩點代入直線l方程得：y₁=kx₁，y₂=kx₂，
兩式相減得：y₁-y₂=k（x₁-x₂），
則（x₁-x₂，y₁-y₂）也在直線y=kx上且為整點，
通過這種方法得到直線l經(jīng)過無窮多個整點，
又通過上下平移得到y(tǒng)=kx+b不一定成立，∴③不正確；
對于④，令直線y=

2

x，則該直線恰過整點（0，0），∴④正確．
綜上，命題正確的序號有：①④．
故答案為：①④．

點評：本題考查了新定義的命題的判斷真假的問題，解題時應利用舉例說明的方法，并能適當?shù)淖C明，是較難的題目．