Question

7．如圖在△ABC中，$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{NC}$，P是BN上的一點，若$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{AC}$，則實數λ的值為（　　）

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． $\frac{3}{10}$

Answer 1

分析 設$\overrightarrow{BP}$=m$\overrightarrow{BN}$，我們可將$\overrightarrow{AP}$表示為（1-m）$\overrightarrow{AB}$+$\frac{m}{4}$$\overrightarrow{AC}$的形式，根據平面向量的基本定理我們易構造關于λ，m的方程組，解方程組后即可得到λ的值．

解答 解：設$\overrightarrow{BP}$=m$\overrightarrow{BN}$，∵$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{NC}$，∴$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{AB}$+m$\overrightarrow{BN}$=$\overrightarrow{AB}$+m（$\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AB}$）=（1-m）$\overrightarrow{AB}$+m$\overrightarrow{AN}$=（1-m）$\overrightarrow{AB}$+$\frac{m}{4}$$\overrightarrow{AC}$，
∵$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{AC}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-m=λ}\\{\frac{m}{4}=\frac{1}{5}}\end{array}\right.$，解得λ=$\frac{1}{5}$．
故選：A．

點評 本題主要考查了的知識點是面向量的基本定理及其意義，解答本題的關鍵是根據面向量的基本定理構造關于λ，m的方程組，屬于中檔題．