Question

7．設(shè)P是不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≥0}\\{x+3y≤1}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn)，向量$\overrightarrow{m}$=（-1，1），$\overrightarrow{n}$=（2，-1），若$\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow m+μ\overrightarrow n$，則$\frac{μ}{λ+1}$的取值范圍（　�。�

• A． [-$\frac{1}{2}$，2]
• B． [0，1]
• C． [$\frac{1}{2}$，1]
• D． [0，$\frac{1}{2}$]

Answer 1

分析 由向量知識和已知可得$\left\{\begin{array}{l}{λ-2μ≤0}\\{λ-μ≥0}\\{2λ-μ≤1}\end{array}\right.$，作出$\left\{\begin{array}{l}{λ-2μ≤0}\\{λ-μ≥0}\\{2λ-μ≤1}\end{array}\right.$所對應(yīng)的可行域，$\frac{μ}{λ+1}$表示區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)和（-1，0）連線的斜率，數(shù)形結(jié)合可得．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{m}$=（-1，1），$\overrightarrow{n}$=（2，-1），且$\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow m+μ\overrightarrow n$，
∴（x，y）=λ（-1，1）+μ（2，-1）=（-λ+2μ，λ-μ），
∵$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≥0}\\{x+3y≤1}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{-λ+2μ≥0}\\{λ-μ≥0}\\{（-λ+2μ）+3（λ-μ）≤1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{λ-2μ≤0}\\{λ-μ≥0}\\{2λ-μ≤1}\end{array}\right.$，
作出$\left\{\begin{array}{l}{λ-2μ≤0}\\{λ-μ≥0}\\{2λ-μ≤1}\end{array}\right.$所對應(yīng)的可行域（如圖陰影），
$\frac{μ}{λ+1}$表示區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)和（-1，0）連線的斜率，
當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)O（0，0）時(shí)，$\frac{μ}{λ+1}$取最小值0，
當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A（1，1）時(shí)，$\frac{μ}{λ+1}$取最大值$\frac{1}{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查簡單線性規(guī)劃，準(zhǔn)確作圖是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．