Question

17．已知正四面體ABCD的棱長為9，點(diǎn)P是三角形ABC內(nèi)（含邊界）的一個動點(diǎn)滿足P到面DAB、面DBC、面DCA的距離成等差數(shù)列，則點(diǎn)P到面DCA的距離最大值為2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 設(shè)動點(diǎn)P到面DAB、面DBC、面DCA的距離分別為h₁，h₂，h₃，由正四面體ABCD的棱長為9，求出每個面面積S=$\frac{81\sqrt{3}}{4}$，高h(yuǎn)=3$\sqrt{6}$，由正四面體ABCD的體積得到h₁+h₂+h₃=3$\sqrt{6}$，再由滿足P到面DAB、面DBC、面DCA的距離成等差數(shù)列，能求出點(diǎn)P到面DCA的距離最大值．

解答 解：設(shè)動點(diǎn)P到面DAB、面DBC、面DCA的距離分別為h₁，h₂，h₃，
∵正四面體ABCD的棱長為9，每個面面積為S=$\frac{1}{2}×9×9×sin60°$=$\frac{81\sqrt{3}}{4}$，
取BC中點(diǎn)E，連結(jié)AE．過S作SO⊥面ABC，垂足為O，
則AO=$\frac{2}{3}AE=\frac{2}{3}\sqrt{81-\frac{81}{4}}$=3$\sqrt{3}$，
∴高h(yuǎn)=SO=$\sqrt{81-27}$=3$\sqrt{6}$，
∴正四面體ABCD的體積V=$\frac{1}{3}Sh$=$\frac{1}{3}$S（h₁+h₂+h₃），
∴h₁+h₂+h₃=3$\sqrt{6}$，
∵滿足P到面DAB、面DBC、面DCA的距離成等差數(shù)列，
∴h₁+h₂+h₃=3h₂=3$\sqrt{6}$，∴${h}_{2}=\sqrt{6}$，h₂+h₃=2$\sqrt{6}$，
∴點(diǎn)P到面DCA的距離最大值為2$\sqrt{6}$．
故答案為：2$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評 本題考查點(diǎn)到平面的距離的最大值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列、正四面體性質(zhì)等知識點(diǎn)的合理運(yùn)用．